MathTech

اویلر یا رونگه-کوتا؟ انتخاب روش برای معادلهٔ دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل رونگه-کوتا

مسئلهٔ مقدار اولیه را در نظر بگیرید:

y′=y−t2+1,0≤t≤2,y(0)=0.5y'=y-t^2+1,\qquad 0\le t\le 2,\qquad y(0)=0.5

جواب دقیق آن y(t)=(t+1)2−0.5ety(t)=(t+1)^2-0.5e^{t} است و در t=2t=2 برابر 5.30547205.3054720 می‌شود. حالا با ۱۰ گام (h=0.2h=0.2) دو روش را مقایسه می‌کنیم.

اویلر. ساده‌ترین روش است: wi+1=wi+h f(ti,wi)w_{i+1}=w_i+h\,f(t_i,w_i). نتیجه در t=2t=2 برابر 4.86578454.8657845 است؛ خطا حدود 0.440.44، یعنی کمتر از دو رقم درست.

رونگه-کوتا مرتبهٔ ۴. در هر گام چهار شیب را ترکیب می‌کند:

wi+1=wi+16 (k1+2k2+2k3+k4)w_{i+1}=w_i+\tfrac16\,(k_1+2k_2+2k_3+k_4)

نتیجه 5.30536305.3053630 است؛ خطا فقط حدود 1.1×10−41.1\times10^{-4} — با همان ۱۰ گام، تقریباً چهار هزار برابر دقیق‌تر.

چرا؟ خطای کلی اویلر از مرتبهٔ O(h)O(h) و رونگه-کوتا ۴ از مرتبهٔ O(h4)O(h^4) است. با نصف‌کردن hh، خطای اویلر نصف می‌شود ولی خطای RK۴ تقریباً ۱۶ برابر کم می‌شود.

بهای دقت. RK۴ در هر گام چهار بار ff را حساب می‌کند. اگر محاسبهٔ ff گران باشد، روش‌های چندگامی مثل آدامز-بشفورث (یک ارزیابی جدید در هر گام) گزینهٔ خوبی‌اند.

قاعدهٔ سرانگشتی: اویلر را برای فهمیدن مفهوم بخوانید و RK۴ را برای محاسبهٔ واقعی به کار ببرید. در MathTech هر سه روش با همین مسئله به‌عنوان نمونهٔ پیش‌فرض آماده‌اند.